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C)]. aI IXI a 2 1X1 = + + IX I , bl = ßI usw. ergibt den Satz für Summen von vier Quadraten ohne Benutzung komplexer Größen. Nimmt man a l und IXI' a2 und IX~ usw. konjugiert komplex, so erhalten wir den entsprechenden Satz für Summen von acht Quadraten. al = § 19. Weitere Beispiele und Aufgaben über besondere Determinanten. Die im Folgenden angegebenen Identitäten und andere Eigenschaften sind nachzuweisen. (VgI. auch POLYA und SZEGÖ, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis II, Abschnitt VIL) l.

Sind die Elemente einer Reihe (d. h. Zeile oder Spalte) Summen von zwei Gliedern, so läßt sich D als Summe zweier Determinanten schreiben. Ist z. B. für die erste Zeile an = cx I dann ist + ßI' IX I D= IX 2 a 21 a 22 a l2 = CX2 + ß2' ••. , aln = CXn + ßn' ••• CXn •.. a 2n + Der Beweis ergibt·sich leicht aus I oder aus der Entwicklung nach der betreffenden Reihe. In gleicher Weise folgt Satz 12. Werden die Elemente einer Reihe mit einem Faktor A multipliziert, so geht D in ),D über. 24 Determinanten.

A 2n X n a ll Xl a 21 Xl a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + amnXn miteinander verbunden, so spricht man von einer linearen Substitution, durch welche die Yi durch die Xk ersetzt werden können. Solche Umformungen kommen z. B. beim Übergang eines Koordinatensystems zu einem anderen vor. Die Bezeichnung der Veränderlichen ist für die lineare Substitution gleichgültig, es kommt nur auf das System der Koeffizienten an. Dieses schreibt man in der Form an ~= ( a 12 ••· a1n) a~l a~2. ::: ~2 n amI a m2 •.. a mn 43 § 20.

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by Jason
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